Question

В прямоугольном треугольнике ABC (Угол C=90 AB=13 AC= cb+7 Проведена биссектриса CK найдите катеты треугольника abc и радиус окружности ,описанной около треугольника CKB.

Answer 1

Обозначим СВ=х, АС=х+7.
По Пифагору 13² = х² + (х+7)² = х² + х² + 14х + 49.
Получаем квадратное уравнение 2х² + 14х - 120 = 0.
После сокращения на 2 имеем:
х² + 7х - 60 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=7^2-4*1*(-60)=49-4*(-60)=49-(-4*60)=49-(-240)=49+240=289;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√289-7)/(2*1)=(17-7)/2=10/2=5;x_2=(-√289-7)/(2*1)=(-17-7)/2=-24/2=-12  это корень отбрасываем.

Нашли катеты треугольника: ВС = 5, АС = 5 + 7 = 12.

Находим длину биссектрисы СК:
$CK=m_c= \frac{2}{a+b} \sqrt{abp(p-c)}$ = 4,99134.

Находим отрезок КВ (равен х) по свойству биссектрисы:
5/х = 12/(13-х),
12х = 65 - 5х,
17х = 65,
х = КВ = 65/17 = 3,8235294.

В треугольнике СКВ находим радиус описанной окружности:
R = abc/(4S).
S= √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = 8,8235294.
p = (a+b+c)/2 = 6,9074357.
R = (5*4,99134* 3,8235294)/(4*8,8235294) = 2,703643575.