1) Определяем векторы А1А2 и А1А4:
А1А2 =(7-2=5; 6-4=2; 3-3=0) = (5; 2; 0),
А1А4 = (3-2=1; 6-4=2; 7-3=4) =(1; 2; 4).<span>
Угол между рёбрами А1А2 и А1А4:
</span>
=1,197487 радиан = 68,61098 градуса.
<span>2) площадь грани А1 А2 А3:
</span>Площадь треугольника<span> образованного </span>векторами<span> a и b равна половине </span>модуля векторного произведения <span>этих </span>векторов.
Вектор А1А2 найден.
Находим вектор А1А3: = (4-2=2; 9-4=5; 3-3=0) = (2; 5; 0).
S = (1/2)*|a × b|.
c =a × b = (2·0 - 0·5) - (5·0 - 0·2) + (5·5 - 2·2) = = (0 - 0) - (0 - 0) +
+ (25 - 4) = {0; 0; 21<span>}
</span>|a x b| = √(cx²<span> + cy</span>²<span> + cz</span>²) = √(0² + 0² + 21²) = √(0 + 0 + 441) = √441<span> = 21.
</span><span>Найдем площадь треугольника:</span><span><span>S = (1/2)*21<span> = 10.5.
</span></span>
</span>3) Проекция вектора А1А3 на вектор А1А4.
<span><span><span>Пр ba = (</span><span>a · b)/</span></span><span>|b|</span></span>
<span>Найдем скалярное произведение векторов :</span>a · b = <span>ax</span> · <span>bx</span> + <span>ay</span> · <span>by</span> + <span>az</span> · <span>bz</span> =
5 · 1 + 2 · 2 + 0 · 4 = 5 + 4 + 0 = 9
<span>Найдем модуль вектора :</span>|b| = √(bx²<span> + by</span>²<span> + bz</span>²) = √(1² + 2² + 4²) =
√(1 + 4 + 16) = √21
<span><span>Пр ba = </span>9/</span>√21<span> = <span><span>3√21/</span>7</span> ≈ <span>1.963961.
</span></span>
4) Объём пирамиды.
<span><span /><span><span><span>Объем пирамиды равен: </span></span><span><span>(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3</span>
</span></span></span>Находим третий вектор :
AS = {Sx<span> - A</span>x; Sy<span> - A</span>y; Dz<span> - A</span>z<span>} = {3 - 2; 6 - 4; 7 - 3} = {1; 2; 4}.
</span>V = (1/6)|AB · [AC × AD]|.
Находим смешанное произведение векторов:
AB · (AC × AS) = 5·5·4 + 2·0·1 + 0·2·2 - 0·5·1 - 2·2·4 - 5·0·2 = 100 + 0 + 0 - 0 - 16 - 0 = 84
<span>Найдем объем пирамиды: </span><span><span>V = (1/6)·84 = 14</span><span>.
</span></span>