MABCD - правильная четырехугольная пирамида
Vпирамиды=(1/3)*Sосн*H
Sосн=a²,
H-?
по условию диагональное сечение - правильный ΔАМС.
=> его стороны = диагонали квадрата
d²=a²+a², d²=2a², d=а√2
сторона правильного ΔАМС равна a√2.
высота пирамиды - высота правильного треугольника, Н= [(а√2)*√3]/2.
H=(a√6)/2
V= (1/3)*a² *( a√6) /2=(a³√6)/6
Vпир=(а³√6)/6
Нужно просто опустить перпендикуляр из вершины к основанию
d1=3x
d2=4x
a=20
---------------
Найти: d1, d2, r
--------------
Решение: d1^2 + d2^2 = 4*a^2
(3х)^2 + (4x)^2 = 1600
9x^2+16x^2 = 1600
25x^2 = 1600
x^2=64
х=8
d1=3*8=24
d2=4*8=32
S=d1*d2 / 2 = 24*32 : 2 = 384
r=S/2а = 384 / 40 = 9,6
Ответ: диагонали равны 24 и 32, радиус вписанной окружности равен 9,6.
Проекция апофемы на основание пирамиды Апр = √(h² - H²).
эта проекция составляет 1/3 высоты треугольного основания, поэтому
высота основания hосн = 3√(h² - H²).
выразим высоту основания через сторону а основания:
hосн = 0,5 а√3 → а = 2hосн : √3 = 2 · 3√(h² - H²) / √3 = 2·√(3(h² - H²))
Ответ: сторона основания равна 2·√(3(h² - H²))