Question

Найти синус большего острого угла прямоугольного треугольника, если радиус окружности , описанной около треугольника, в 2,5 раза больше радиуса вписанной окружности

Answer 1

Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника
$r = \frac{a + b - c}{2}$
Радиус описанной окружности
$R = \frac{c}{2}$
Из условия 
$\frac{R}{r} = 2.5$ или $\frac{c}{a+b-c}$

$a+b= \frac{c}{2.5} + c$
Возведем в квадрат обе стороны
$a^2 + b^2 + 2ab = \frac{49}{25}c^2$
$2ab = 4S = \frac{24}{25}c^2$   =>   $S = \frac{6}{25}c^2$
Выразим катеты через гипотенузу и углами
$a = csin \alpha\\ b = csin \beta$
Теорема Пифагора
$c^2 = a^2 + b^2 = c^2sin^2 \alpha + c^2sin^2 \beta$
Получается следующее     $sin^2 \alpha + sin^2 \beta = 1$
Теперь найдем произведение углов с помощью формулы для нахождения площади
$\frac{acsin \alpha }{2}$ или  $\frac{c^2sin \beta sin \alpha }{2}$

В начале мы выразили площадь через гипотенузу
$\frac{6}{25}c^2 = \frac{c^2sin \alpha sin \beta}{2}$ 
$sin \alpha sin \beta = \frac{12}{25}$

Теперь из выражения  $sin^2 \alpha + sin^2 \beta = 1$ получаем следующее  
$(sin \alpha + sin \beta )^2 - 2sin \alpha sin \beta = 1$ 

Подставляем 
$(sin \alpha + sin \beta )^2 = \frac{49}{25}\\ sin \alpha + sin \beta = 1.4$
Теперь осталось найти углы
$sin \alpha = 1.4 - sin \beta$
$sin \alpha sin \beta = 1.4sin \beta - sin^2 \beta = \frac{12}{25} = 0.48$
$sin^2 \beta - 1.4sin \beta + 0.48 = 0$
$sin \beta = 0.6$
$sin \alpha = 0.8$
Так в промежутке от 0  до 90 синус возрастает то  $sin \alpha = 0.8$
будет наибольшим острым углом в градусах будет приблизительно 53