Question

Сумма первого и четвёртого членов возрастающей геометрической прогрессии относится к сумме второго третьего членов этой прогрессии как 13:4. Найдите первый член прогрессии, если третий член равен 32.

Answer 1

Задание. Сумма первого и четвёртого членов возрастающей геометрической прогрессии относится к сумме второго третьего членов этой прогрессии как 13:4. Найдите первый член прогрессии, если третий член равен 32.
                 Решение:
По условию $\dfrac{b_1+b_4}{b_2+b_3}= \dfrac{13}{4} .$ Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n=b_1q^{n-1}$, получим $\dfrac{b_1+b_1q^3}{b_1q+b_1q^2}= \dfrac{13}{4}$ или $\dfrac{1-q+q^2}{q}= \dfrac{13}{4}$
$4-4q+4q^2=13q\\ 4q^2-17q+4=0$
Решая квадратное уравнение, мы получим корни $q_1=0.25$ и $q_2=4$
Знаменатель $q=0.25$ не удовлетворяет условию, т.к. геометрическая прогрессия возрастающая.

$b_3=b_1q^2$ или $b_1= \dfrac{b_3}{q^2}$. Подставив значение q=4, получим $b_1=\dfrac{32}{4^2} =2.$

Ответ: 2.

Answer 2

{b3=32⇒b1q²=32
{(b1+b4)/(b2+b3)=13/4⇒4*(b1+b1q³)=13*(b1q+b1q²)=4(1+q³)=13(q+q³)⇒
4(1-q+q²)=13q
4q²-4q+4-13q=0
4q²-17q+4=0
D=289-64=225
q=(17-15)/8=1/4 не удов усл
q=(17+15)/8=4
b1=32/16=2