Question

В треугольник ABC вписан параллелограмм BDEF таким образом, что точки Д, E, F лежат на сторонах АВ, АС и BС соответственно. Площади параллелограмма BDEF и треугольника ABC относятся, как 4:9. Найдите стороны параллелограмма, если АВ = 12, ВС=1 8.

P.S. Чертеж есть, по примеру пытаюсь решить, но все время где-то ошибаюсь. Если можно с пояснениями.

Answer 1

Очевидно что  $BD||EF$ так как параллелограмм , а так как $BD||EF||AB$, то есть треугольник  $EFC$  подобен  $ABC$ 
площадь треугольника $S_{ABC}=12*9*sinABC$ 
 площадь параллелограмма $BD*BF*sinABC$ 
откуда $\frac{BD*BF}{12*9}=\frac{4}{9}\\ BD*BF=48$ 
из подобия треугольников получим 
 
 $\frac{BD}{12} = \frac{18-BF}{18}\\ BD*BF=48\\\\ \frac{\frac{48}{BF}}{12}=\frac{ 18-BF}{18}\\ \frac{48}{BF} = \frac{2}{3}*(18-BF)\\ 144=2BF(18-BF)\\ 72=18BF-BF^2\\ BF=6\\ BF=12\\ BD=8\\ BD=4$
то есть два решения 
$BF=6; \ \ BD=8\\ BF=12;\ \ BD=4$