Question

Как решить интеграл? 1) X cos 2x dx 2)cosx•cos3x dx

Answer 1

1)
Интегрирование по частям:

$\int f(x)dg(x)=f(x)g(x)-\int g(x)df(x)\\f(x)=x,dg(x)=cos2x\Rightarrow df(x)=dx,g(x)={1\over2}sin(2x)\\{1\over2}(xsin(2x)-\int sin(2x)dx)={xsin(2x)\over2}+{cos(2x)\over4}+C$

2)
$cosx\,cos3x={1\over2}(cos(-2x)+cos(4x))={1\over2}(cos2x+cos4x)\Rightarrow\\\Rightarrow \int cosx\,cos3x\,dx={1\over4}sin2x+{1\over8}sin4x+C={1\over2}sinxcosx+\\+{1\over2}sinxcosxcos2x+C={1\over2}sinxcosx(1+2cos^2x-1)+C=\\=sinxcos^3x+C$