Question

Параболами y=6x^2 , y=(x-3)(x-4)и осью ox

Answer 1

Очевидно, в задании надо определить площадь между параболами y=6x² , y=(x-3)(x-4) и осью Оx.
Эта площадь состоит из двух участков: один - от начала координат до точки пересечения парабол и второй далее до х = 3 (где вторая парабола пересекается с осью Ох.
Находим точку пересечения парабол.
6x² = (x - 3)(x - 4).
6x² = x² - 3x - 4х + 12.
5х² + 7х - 12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=7^2-4*5*(-12)=49-4*5*(-12)=49-20*(-12)=49-(-20*12)=49-(-240)=49+240=289;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√289-7)/(2*5)=(17-7)/(2*5)=10/(2*5)=10/10=1;x₂=(-√289-7)/(2*5)=(-17-7)/(2*5)=-24/(2*5)=-24/10=-2,4. Это значение отбрасываем, так как оно не отвечает условию задачи.
Искомая площадь S равна:
$S= \int\limits^1_0 {(6x^2)} \, dx + \int\limits^3_1 {((x^2-7x+12)} \, dx = \frac{6x^3}{3} |_0^1+ (\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} +12x)|_1^3=$$2+ \frac{14}{3}= \frac{20}{3} .$