Question

Про натуральные числа А В С известно, что каждое из них больше 5 но меньше 9.Загадали натуральное число,затем его умножили на А потом прибавили к полученному произведению В и затем вычли С. Получилось 172. Какое число было загадано.

Answer 1

По условию:
$(A,B,C) \in \mathbb{N}$
$(A,B,C) \in [6;8]$
Пусть $n$ - это искомое число, которое было загадано. Тогда запишем полное выражение:
$A*n + B - C = 172$
или
$(A*n) = 172 - B + C$
Найдём интервал, в котором находится число $A*n$. 
$(A*n) \in [172 - B_{max} + C_{min} ; 172 - B_{min} + C_{max}]$
$B_{max} = C_{max} = 8$
$B_{min} = C_{min} = 6$
Подставляем значения:
$(A*n) \in [172 - 8 + 6; 172 - 6 + 8]$
$(A*n) \in [170;174]$
Поскольку у нас натуральное число А может принимать 3 значения (6,7,8), то запишем признаки делимости без остатка для каждого числа:
а) Число делится на 6 без остатка, если оно делится на 2 и на 3. 
б) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2*9) = 7 делится на 7). 
в) Число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. 
Теперь рассмотрим полученный интервал и проанализируем по всем признакам делимости, составим таблицу:
По горизонтали - признак делимости
По вертикали - число из полученного интервала
$\begin{tabular}{crrrr} & 6 & 7 & 8 & \\ 170 & \times & \times & \times & \\ 171 & \times & \times & \times & \\ 172 & \times & \times & \times & \\ 173 & \times & \times & \times & \\ 174 & + & \times & \times\\ \end{tabular}$
Мы получили единственное число, удовлетворяющее хотя бы одному признаку делимости - 174. 
Следовательно A = 6 и отсюда:
$A*n = 174$
$n = \frac{172 -6 + 8}{A} = \frac{174}{6} = 29$
Загаданное число равно 29. 
Полный ответ:
$A = 6 \\ B = 6 \\ C = 8 \\ n =29$