Question

В правильной треугольной пирамиде высота основания равна h боковые ребра наклонены к основанию под углом Альфа. найдите объем пирамиды. с рисунком пожалуйста

Answer 1

$SABC-$ правильная треугольная пирамида
$AK=h$
$\ \textless \ SAO= \alpha$
$Vn-$ ?

$SABC-$ правильная треугольная пирамида ⇒ Δ $ABC-$ равносторонний
$SO$ ⊥ $(ABC)$
Δ $SOA-$ прямоугольный
$\frac{SO}{OA} =tg\ \textless \ SAO$
$SO=AO*tg \alpha$
$AK$ и  $CF-$ медианы
$AK$ ∩ $CF=O$
$AO:OK=2:1$
$AO+OK=h$
$AO= \frac{2}{3} h$
$SO= \frac{2}{3} h*tg \alpha$
Δ $ABC-$ равносторонний
$AK$ ⊥ $BC$
Δ $AKB-$ прямоугольный
$BK=KC=x$
$AB=2x$
По теореме Пифагора:
$AK^2+BK^2=AB^2$
$h^2+ x^{2} =4x^2$
$3x^2=h^2$
$x^{2} = \frac{h^2}{3}$
$x= \frac{h}{ \sqrt{3} }= \frac{h \sqrt{3} }{3}$
$AB= \frac{2h \sqrt{3} }{3}$
$S_{ABC}= \frac{AB^2 \sqrt{3} }{4}$
$S_{ABC}= \frac{( \frac{2h \sqrt{3} }{3} )^2* \sqrt{3} }{4}= \frac{4*h^2*3* \sqrt{3} } {9*4} = \frac{h^2 \sqrt{3} }{3}$

$V= \frac{1}{3} S_{ocn}*H$
$V= \frac{1}{3} * \frac{h^2 \sqrt{3} }{3} * \frac{2}{3}h*tg \alpha = \frac{2h^3 \sqrt{3}tg \alpha }{27}$

Ответ: $\frac{2h^3 \sqrt{3}tg \alpha }{27}$ куб. ед.