Question

Составить уравнение линии, каждая точка М которой, удовлетворяет заданным условиям. Отстоит от прямой x=9 на расстоянии, в 4 раза меньшем, чем от точки А (-1,2)

Answer 1

Теория к задаче.

Пусть имеются две точки $A(x_1,y_1),~ B(x_2,y_2)$. Расстояние между двумя точками вычисляется следующим образом

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Пусть имеется точка С с координатами $(x_0;y_0)$ и пусть есть общее уравнение прямой $Ax+By+C=0$. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

$s=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Решение:

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x,y)$ и эта точка по условию принадлежит нашей неизвестной кривой. Расстояние между двумя точками равна

$|AM|=\sqrt{(x-(-1))^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}$

Расстояние от точки до прямой $x-9=0$ :

$s=\dfrac{|1\cdot x+0\cdot y-9|}{\sqrt{1^2+0^2}}=|x-9|$

Составим уравнение согласно условию:

$4|x-9|=\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}\\ 16(x-9)^2=(x+1)^2+(y-2)^2\\ (4x-36)^2-(x+1)^2-(y-2)^2=0\\ (4x-36-x-1)(4x-36+x+1)-(y-2)^2=0\\ (3x-37)(5x-35)-(y-2)^2=0\\ 15x^2-290x+1295-(y-2)^2=0\\ \\ 15\left(x-\dfrac{29}{3}\right)^2-\dfrac{320}{3}-(y-2)^2=0\\ \\ \left(x-\dfrac{29}{3}\right)^2 -\dfrac{(y-2)^2}{\left(\sqrt{15}\right)^2}=\dfrac{64}{9}$

Найденное уравнение линии является гиперболой, его центр $\left(\dfrac{29}{3};2\right)$