Question

Решите уравнение 3sin^2 2x+7cos2x-3=0 и запишите количество корней принадлежащих промежутку [0;360]заранее благодарю

Answer 1

$3\sin^2 2x+7\cos2x-3=0\\3(1-\cos^22x)+7\cos2x-3=0\\3-3\cos^22x+7\cos2x-3=0\\-3\cos^22x+7\cos2x=0\\3\cos^22x-7\cos2x=0\\\cos2x(3\cos2x-7)=0\\\cos2x=0\Rightarrow2x=\frac\pi2+\pi n\Rightarrow x=\frac\pi4+\frac\pi2n,\;\;n\in\mathbb{Z}\\3\cos2x-7=0\Rightarrow\cos2x=\frac73>1\;-\;HE\;nogx.\\x\in[0;\;2\pi]\Rightarrow0\leq\frac\pi4+\frac\pi2n\leq2\pi\\-\frac\pi4\leq\frac\pi2n\leq\frac74\pi\\-1\leq2n\leq7\\-\frac12\leq n\leq\frac72\\n\in\mathbb{Z}\Rightarrow n=[0;3]$
$x_1=\farc\pi4;\;\;x_2=\frac34\pi;\;\;x_3=\frac54\pi;\;\;x_4=\frac94\pi$

Answer 2

Выражение sin²(2x) заменяем на 1-cos²(2x).
Тогда уравнение 3sin^2 2x+7cos2x-3=0 можно представить в виде:
3-3cos²(2x)+7cos(2x)-3=0
 -3cos²(2x)+7cos(2x)=0
-cos(2x)(3cos(2x)+7)=0
Отсюда два решения:
cos(2x₁)=0    х₁= Arc cos(0) / 2  = kπ+-π/4
cos(2x₂)=7/3 этот ответ не принимается, так как косинус не может быть больше 1.
На промежутке [0;360] или [0;2π] 4 корня: π/4, 3π/4,  5π/4 и 7π/4.