Question

2cos2x+8sinx=5
1) Решить уравнение
2) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\begin{array}{ccc}&&\\ \frac{5 \pi }{2} &;&5 \pi \\&&\end{array}\right]$
Буду благодарен за помощь.

Answer 1

$2cos2x+8sinx=5 \\ 2(cos^2x-sin^2x)+8sinx-5=0 \\ 2(1-sin^2x-sin^2x)+8sinx-5=0 \\ 2(1-2sin^2x)+8sinx-5=0 \\ 2-4sin^2x+8sinx-5=0 \\ -4sin^2x+8sinx-3= \\ 4sin^2x-8sinx+3=0$

y=sinx

4y²-8y+3=0
D=64-48=16
y₁=(8-4)/8=4/8=1/2
y₂=(8+4)/8=12/8=1.5

1) При у=1/2
$sinx= \frac{1}{2} \\ x=(-1)^n* \frac{ \pi }{6}+ \pi n,$ n∈Z;

2) При у=1,5
sinx=1.5
Так как 1,5∉ [-1; 1], то уравнение не имеет решений.


На промежутке [5π/2; 5π]=[15π/6; 30π/6]:
a)  n=2
$x=(-1)^2* \frac{ \pi }{6}+2 \pi = \frac{ \pi }{6}+2 \pi = \frac{13 \pi }{6}$
нет

б) n=3
$x=(-1)^3* \frac{ \pi }{6}+3 \pi =- \frac{ \pi }{6}+3 \pi = \frac{17 \pi }{6}$
да

в) n=4
$x=(-1)^4* \frac{ \pi }{6}+4 \pi = \frac{ \pi }{6}+4 \pi = \frac{25 \pi }{6}$
да

г) n=5
$x=(-1)^5* \frac{ \pi }{6}+5 \pi =- \frac{ \pi }{6}+5 \pi = \frac{29 \pi }{6}$
да

д) n=6
$x=(-1)^6* \frac{ \pi }{6}+6 \pi = \frac{ \pi }{6}+6 \pi = \frac{37 \pi }{6}$
нет

Ответ: $\frac{17 \pi }{6}; \frac{25 \pi }{6}; \frac{29 \pi }{6}.$

Answer 2

Применена формула двойного угла косинуса