Пойдем по порядку.
Для начала, когда вы выходите в интернет, то ваш провайдер присваивает вам внешний ip адрес - под этим адресом вас "видят" внешние сайты и форумы.
Судя по тому, что вы описали - вас забанили именно по ip. Поэтому для работы с этим сайтом, необходимо, чтобы был изменен ip-адрес. Новый компьютер этому не поспособствует, может только интернет провайдер.
Тем не менее есть несколько способов обхода бана по ip. Использование сайтов-анонимизаторов, сервисов VPN и многие другие.
Дополнительно стоит отметить, что кроме способа "забанить по ip" есть еще и другие малонадежные, но иногда используемые способы.
Например, сайт мог добавить специальный cookie, который бы свидетельствовал о том, что вы забанены. Поэтому, на всякий случай не забывайте очищать файлы-cookie. В каждом браузере это делается по своему, но основной принцип такой - найти меню с названием типа "Личные данные" и выбрать пункт, навроде "Очистить файлы-cookie".