Question

Задача. Найдите косинус угла между плоскостями ромба $ABCD$ и равностороннего треугольника $ADK$, если $AD= 8$ см, ∠ $BAD=30$° и расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ равно $4 \sqrt{2}$ см. (с рисунком!)

Answer 1

А=АД=8 см. ∠α=∠ВАД=30°.

Для начала найдём высоту ромба.
S(АВСД)=а²·sinα=8²/2=32 см².
S(АВСД)=a·Н ⇒ Н=S(АВСД)/а=32/8=4 см.

В правильном треугольнике АДК КЕ - высота. КЕ=а√3/2=4√3 см.

Прямые АД и ВС параллельны. Проведём МЕ⊥АД, М∈ВС ⇒ МЕ⊥ВС. МЕ=Н=4 см.
КЕ⊥АД и  МЕ⊥ВС, значит по теореме о трёх перпендикулярах КМ⊥ВС, следовательно КМ=4√2 см (по условию).

КЕ⊥АД и МЕ⊥АД, значит ∠КЕМ - линейный угол двугранного угла КАДМ или угол между плоскостями АДК и АВС.

В треугольнике КМЕ по теореме косинусов:
cos∠КЕМ=(КЕ²+МЕ²-КМ²)/(2КЕ·МЕ),
cos∠КЕМ=(48+16-32)/(2·4√3·4)=32/(32√3)=1/√3 - это ответ.