Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.
Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть
![a=3^xp^2, b=3^yq^2](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D3%5Exp%5E2%2C+b%3D3%5Eyq%5E2)
, где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на
![3^x](https://tex.z-dn.net/?f=3%5Ex)
, получим уравнение
![p^2+q^2=3^{n-x}](https://tex.z-dn.net/?f=p%5E2%2Bq%5E2%3D3%5E%7Bn-x%7D)
. Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на
![3^x](https://tex.z-dn.net/?f=3%5Ex)
, имеем
![p^2+3^{y-x}q^2=3^{n-x}](https://tex.z-dn.net/?f=p%5E2%2B3%5E%7By-x%7Dq%5E2%3D3%5E%7Bn-x%7D)
. Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.
Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.