Question

Какой максимальный угол подъема может преодолеть тепловоз, который развивает мощность P=370 кВт, перемещая состав, массой m=2000 т со скоростью, модуль которой v=7.2 км/ч? Угол наклона мал, а коэффициент сопротивления движению µ=0,002.

Answer 1

Рассмотрим крайний случай: тепловоз поднимается без ускорения в горку под углом $\alpha$. Запишем для него второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости горки (Вверх будет действовать сила тяги (F = P/v), а вниз - сила трения и проекция силы тяжести):
P/v = m·g·sinα + μ·m·g·cosα
Выразим из основного тригонометрического тождества sinα через cosα:
$sin \alpha = \sqrt{1 - cos^{2} \alpha }$
Избавимся от sinα и поработаем с выражением, чтобы получить квадратное уравнение с cosα:
(P/v - μ·m·g·cosα)² = m²·g²·(1 - cosα) || Перенесли налево слаг. и ()²
(P/v)² - 2·P/v·μ·m·g·cosα + (μ·m·g·cosα)² = m²·g² - m²·g²·cosα
Приводим к виду квадратного уравнения:
(μ·m·g)²×(cosα)² + (m²·g² - 2·P/v·μ·m·g)×cosα + (P/v)² - m²·g² = 0;
Решаем данное уравнение через дискриминант:
cosα₁₂ = (-(m²·g² - 2·P/v·μ·m·g)+√((m²·g² - 2·P/v·μ·m·g)² - 4·(μ·m·g)²·((P/v)² - m²·g²)))/(2·(μ·m·g)²)
Подставляем числа:
cosα₁₂ = (-(2000000^2*100-2*370000/2*0.002*2000000*10)+sqrt((2000000^2*100-2*370000/2*0.002*2000000*10)^2-4*(0.002*2000000*10)^2*((370000/2)^2-2000000^2*100)))/(2*(0.002*2000000*10)^2) = 0.000053 ≈ 0.
Значит, угол наклона равен arccos(α) ≈ 0,59 ≈ 0,6°
!Внимание! я мог ошибиться в вычислениях!
Ответ: α ≈ 0,6°.

Это было непросто...
Пожалуйста, отметь решение как лучшее ;)
Кнопка "Лучший ответ" появится через полчаса на этой странице.
Очень нужно для следующего уровня :)