Как и всякая другая теория, эта основана на наблюдениях и на предшествующих и уже подтверждённых теориях. В частности, на Общей теории относительности, на квантовой механике и на термодинамике.
Предпосылок несколько. Первой из них стала разработанная Эйнштейном теория тяготения (она же и есть Общая теория относительности, ОТО). Для своих уравнений получил Эйнштейн получил стационарные решения, которые не зависели от времени. И сам он первоначально предполаал, что Вселенная статична. Однако сравнительно скоро ленинградский физик А. Фридман полчил для этих уравнений нестационарные решения, по которым Вселенная могла сжиматься или расширяться. Результат, которому Эйнштейн сначала не поверил, но затем признал, что такое решение тоже возможно.
В то же время американский астроном Хаббл, измерив лучевые скорости множества галактик, обнаружил, что есть чёткая зависимость между расстояним от галактики до на и скоростью её удаления (закон Хаббла). Расстояние до галактик, даже удалённых, к тому времени уже научились измерять довольно точно, по измерению фотометрических характеристик взрывов Сверхновых типа Ia (абсолютная светимость таких событий одна и та же, поэтому наблюдаемая - фотометрическая - яркость зависит только от расстояния до нас).
Ещё через два десятка лет Геогий Гамов предложил свою теорию (впрочем, на тот момент ещё только гипотезу) "горячей Вселенной". По этой гипотезе, расширяющаяся Вселенная когда-то была чрезвычайно плотной и горячей, остывающей в процессе своего расширения, и как результат и отголосок этих ранних стадий эволюции Вселенной, она должна быть вся наполнена фоновым излучением.
Это был не единственный рассматривавшийся сценарий эволюции ВСеленной. Академик Зельдович придерживался модели "холодной ВСеленной", а Фред Хойл - модели стационарной Вселенной. Но долгое время это был спор теоретиков.
Картина резко изменилась ещё через двадцать лет, когда во второй половине 60х фоновое излучение обнаружили экспериментально. После этого развитие теории эволюции Вселенной рвануло вперд семимильными шагами. Тщательные измерения параметров фонового излучения позволили выявить его анизоотропию, поначалу озадачившую учёных, но потом именно эта анизотропия стала одним из обосновани новой теории, потому что её удалось объяснить термодинамически - как отголосок статистических флуктуаций плотности вещества и энергии на ранней стадии непрозначной Вселенной, когда сверхплотная и горячая Вселенная была непрозрачной, и поэтому излучение находилось в термодинамическом равновесии с веществом.
Сейчас теория Большого взрыва известна среди астрофизиков как Стандартная космологическая модель (не путать со Стандартной моделью, которая описывает микромир), и в основных своих чертах сомнению не подвергается. Это не значит, что там всё уже ясно и больше нечего ловить. Проблемы тёмной материи и тёмной энергии ещё ждут своего решения - ни природа тёмной материи. ни физическая природа тёмной энергии пока не известны, хотя их проявления неоспоримы (это особенности движения звёзд в галактиках для тёмной материи, и ускоренное расширение Вселенной для тёмной энергии; так что схожесть названий не должна вводить в заблуждение - это разные и, по-видимому, несвязанные вещи). Ну, собсно, учёные тем и отличаются от попов, что чётко представляют себе границы своего знания и не стесняются говорить о том, что "на данный момент это науке не известно".
А вот причины появления Вселенной, причины Большого взрыва - тёмна вода в облацех... Считается, что в момент Большого взрыва возникла не просто Вселенная (материя) - возникло и пространство, и время. То есть в физике просто нет понятия "до Большого взрыва" - времени "до" фактически не существовало. Поэтому "причины появления Вселенной" - пока что вопрос скорее философский, нежели физический. Может, со временем что-то и изменится, но - предпосылок не просматривается...