Осмотрите пупок сами. Если есть какие то покраснения, раздражения, пусть даже царапины, тогда нужно сходить к хирургу и дерматологу.
Возможно, там какое то нагноение, например, царапина осложнилась вторичной инфекцией. Это решит хирург.
Возможно, это грибковая инфекция, и такое бывает, это решит дерматолог.
Если запись к этим врачам большая, то можно и просто к педиатру.
А может быть это и просто вредная привычка, как в носу ковыряться. В этом случае только следить и одергивать. И как правило, такие "привычки" появляются на нервной почве. Здоровье и гигиена хорошо, но и психологический климат в семье очень важен.