1). Находим производную функции y=f(x) и приравниваем её нулю:
f'(x)=[x²–(3/x)–2]'= (x²)'–(3/x)'–(2)'=2x<wbr />–3•(1/x)'–0=2x–3•(–1/<wbr />x²)=2x+(3/x²)=0.
2). Найдём критические точки функции f(x). Для этого решим полученное уравнение:
2x+(3/x²)=0,
2x=–3/x²,
x³=–3/2,
x0=–³√(3/2).
3). Находим интервалы монотонности функции f(x). Для этого определяем знак производной f'(x) на интервалах (–∞;–³√(3/2)) и (–³√(3/2);+∞), прилегающих к критической точке x0=–³√(3/2).Для этого берём любую точку, принадлежащую одному из интервалов, и подставляем её в выражение для f'(x). Получаем:
для x<–³√(3/2) (например, x=–2) => f'(–2)=2•(–2)+(3/(–2<wbr />)²)=–4+(3/4)=–13/4<0=<wbr />>
=>функция f(x) — убывает;
для x>–³√(3/2) (например, x=–1) => f'(–1)=2•(–1)+(3/(–1<wbr />)²)=–2+3=1>0=>
=>функция f(x) — возрастает.
Итак, f(x) на интервалах:
(–∞;–³√(3/2)) — убывает;
(–³√(3/2);+∞) — возрастает.
4). Так как при переходе через критическую точку x0=–³√(3/2) производная f'(x) меняет знак с "–" на "+", то данная точка является точкой экстремума функции f(x), в которой эта функция достигает минимума. Значение функции в этой точке будет равно:
f(x0)=f(–³√(3/2))=[–<wbr />³√(3/2)]²–3/[–³√(3/2)<wbr />]–2=3•³√(3/2)²–2≈1,93<wbr />11.
Итак, функция f(x) достигает минимума в точке [–³√(3/2);3•³√(3/2)²<wbr />–2].
Ответ: Хмин=–³√(3/2), Yмин=3•³√(3/2)²–2≈1,<wbr />9311.
