Чтобы выяснить, как правильно пишется слово борщ или "борщь", вначале выясним, что оно обозначает предмет и отвечает на вопрос: что?
Значит, это существительное. Второй шаг - определим его род, поскольку от этого напрямую зависит написание мягкого знака после шипящих у ряда существительных.
Какой? борщ - красный, украинский, вкусный, горячий.
Как видим, это существительное мужского рода. Следовательно, оно пишется без мягкого знака, как и в аналогичных случаях существительные той же родовой принадлежности:
хлебный мякиш, алюминиевый обруч, непромокаемый плащ, упитанный малыш, вьющийся плющ, мой багаж, ученый муж, бдительный сторож.
Напротив, по правилу орфографии существительные женского рода пишутся с мягким знаком после конечных шипящих, например:
знакомая вещь, красивая брошь, взрослая дочь, темная ночь, заметная плешь.