Сначала вычислим порядковые номера дней в месяцах, приходящиеся на
13-ое число. Они приведены в первой колонке таблицы под заголовком N.
Далее, так как год может начинаться с неполной недели, и до первой
пятницы может пройти от 0 до 6 дней (в таблице это значение n), то
разница N-n должна нацело делиться на 7, т.е. давать в остатке 0,
чтобы укладываться в целое число недель. В остальных колонках
показаны рез-ты вычисления этих остатков при всех возможных
значениях n. Как видим, независимо от дня начала года, не может
быть такого, который бы обошелся без хотя бы одной "черной" пятницы.
А в некоторые годы их может быть и не одна. Подтверждением является нынешний 2013,
начавшийся со вторника (n=4). В нем два таких месяца, в которых остаток
от деления равен 0 - это сентябрь и декабрь.
Разумеется, все вычисления приведены для не високосного года,
для високосного таблица будет выглядеть иначе, но ее легко составить
по указанному методу.