1) В школе нас учат проверять гласные безударные, а также непроизносимые и сомнительные согласные лишь в корнях слов.
2) В лексеме СОЛНЫШКО буква Ш уютненько расположилась в самой середине суффикса -ЫШК-.
3) Хотя в учебниках языка русского ни о чём подобном мы не прочитаем, но правописание как букв гласных, так и согласных в других морфемах тоже можно проверять: гласные – ударением, согласные – подобрав такие слова-родственники, в которых после требующей проверки буквочки стоял бы либо звук гласный, либо сонорный.
4) В связи с вышесказанным можно проверить Ш в суффиксе -ЫШК- словом СОЛНЫШЕЧКО. Но нельзя не заметить, что лексема эта является разговорной, а не нормированной.
5) В Интернете слово СОЛНЫШЕЧКО встречается, хотя, конечно, нагромождение уменьшительно-ласкательных суффиксов отнюдь не расширяет, а, напротив, существенно сужает область употребления этой лексемы.
6) Словари это слово не фиксируют, но причина может быть не в его принадлежности к лексике разговорной, а в лексикографической практике: далеко не все слова с подобными суффиксами присутствуют в справочной лексикологической литературе.
7) Намного продуктивнее, как мне кажется, помнить следующее: в уменьшительно-ласкательных суффиксах -ЫШК-, -УШК- пишется буква Ш и никогда не пишется Ж, которая в слабой позиции тоже может обозначать звук [Ш]:
- брёвнышко;
- вёдрышко;
- ведёрышко;
- гнёздышко;
- горлышко;
- донышко;
- зёрнышко;
- крылышко;
- пёрышко;
- пятнышко;
- рёбрышко;
- стёклышко;
- судёнышко.