В 2005-м году подобная задача была на одном из форумов. Вот одно решение, предложенное неким участником:
Изначально у игрока три двери, и три варианта того, как могли расположиться объекты за дверями (п - приз, з - (зеро, пусто)):
1) пзз
2) зпз
3) ззп
Далее игрок указывает на одну из дверей. Это дает нам девять вариантов ситуации. Перечисляем их, выделив большой буквой выбор игрока:
1.1) Пзз
1.2) пЗз
1.3) пзЗ
2.1) Зпз
2.2) зПз
2.3) зпЗ
3.1) Ззп
3.2) зЗп
3.3) ззП
Все эти случаи равновероятны, других случаев быть не может.
Вот теперь начинается самое главное. Ведущий, который знает за которой дверью находится приз для случаев, когда игрок выбрал дверь с призом имеет две двери, любую из которых он может открыть. Но если игрок выбрал дверь, за которой ничего нету (эту дверь ведущий открыть не может), то его выбор ограничивается лишь одной дверью.
Итак, имеем девять вариантов выбора двери, из которых три, в которых игрок указал на дверь с призом и шесть, в которых игрок указал на дверь с пустотой. В случае, если игрок указал на дверь с призом, у ведущего есть возможность указать на обе оставшиеся двери, с равной вероятностью. То есть - на выходе имеем шесть комбинаций. В случае же, когда игрок указал на дверь с пустотой, у ведущего есть выбор только одной оставшейся двери. Что дает нам еще шесть из двенадцати комбинаций (иначе ведущему пришлось бы открыть дверь с призом, не знай он, где что находится). Таким образом, мы получаем, что из восемнадцати равновероятных для игрока комбинаций ведущему доступно только 12 комбинаций. Поэтому далее мы и получаем, что для ведущего вероятность остается равной, но для игрока лишь в 6 комбинациях из 18 равновероятных приз находится за другой дверью. Ведь оставшиеся шесть - имеют нулевую вероятность - ведущий не откроет дверь с призом, если игрок указал на дверь с пустотой.
Вот и получаем, что в 6/18 случаев приз находится за другой дверью, а в 12/18 за той, которую указал игрок.
22222222222222222222<wbr />2222222222222
Другой участник обсуждения возражает ему:
Ну что вам стоит поставить опыт по-другому?
Есть 100 дверей, за одной приз, за остальными ничего. Игрок указывает на любую дверь, после чего ведущий открывает 98 дверей с пустотой.
Если следовать предыдущей логике, то вероятность, что за оставшейся дверью приз равна 0.99
Можете продолжить с большим количеством дверей, результаты будут еще поразительней. Но после этих действий у игрока останется всего 2 двери, за одной - приз, за другой - ничего. Выбор решает монета.
33333333333333333333<wbr />333333333333333
А вот ещё другое мнение:
Вот поэтому я ненавижу математику.
Дверь с пустотой, которую открывает ведущий, можно вообще исключить из условия. Она всегда будет с пустотой. Можно для красоты эту дверь поставить в сторонке, нарисовать на ней "пусто" и не открывать вовсе. Или не закрывать.
44444444444444444444<wbr />44444444444444444
Так каков же итог этой непростой задачи?
Я думаю так. Хоть и первоначальный удачный выбор двери и был у данного участника 1/3, открытие пустой двери свело это к вероятности 1/2. А тут уже ему всё равно, оставить прежний выбор, или просто сменит его на другой, или как-то иначе ещё сделать свой случайный выбор. Ничего от этого не меняется.