Свадьбой, я так понимаю, в данном случае называется гражданская регистрация брака, верно? Тогда начнём, пожалуй, со скучных подробностей — они важны для понимания правильного ответа на этот замечательный вопрос.
Брак в современном мире может быть церковным — в христианстве он заключается через таинство венчания, - и гражданским — он регистрируется в государственных органах (в России это ЗАГС). Какая форма брака признаётся законной, зависит от конкретной страны и от того, насколько сильна (и какие права имеет) в ней церковь.
Есть государства теократические: церковь в них сильна и диктует свои порядки во всех сферах жизни, включая политику, семью и прочее; а есть светские: в них церковь и государство разделены и сфера духовная никак (или почти никак) не смешивается с обыденными делами. Закон государства отдельно — правила церкви отдельно.
Чисто теократических государств немного Это, скажем, Ватикан, в котором вопросы брака естественным образом вообще не встают. Большинство стран — светские, в том числе и Россия. А это значит, что в России законным браком признается тот самый гражданский — зарегистрированный в органах ЗАГСа. Венчаться не обязательно, этот вопрос каждый решает для себя сам — в меру своей веры.
Есть у этого положения и обратная сторона: церковь всячески призывает к жизни по божиим заповедям, в том числе и настаивает на церковном венчании. Но, признавая, что её прихожане всё же живут в государстве, не рекомендует пренебрегать законами этого самого государства. Иными словами: брак должен быть законным, т.е. зарегистрированным по законам светским официально, и — очень желательно — скрепленным таинством божиим — венчанием.
Вот именно в такой последовательности.
Так что нет — по правилам русской православной церкви нельзя сначала обвенчаться, а «расписаться» уже потом. Через пару лет или позже, как время найдётся. Правильный христианин сначала регистрирует гражданский брак, а уже потом венчается (и начинает, кстати, брачную жизнь только после венчания).
Собственно, для венчания нужно будет предъявить свидетельство о браке — без него священник откажется проводить церемонию. Поступая иначе, он нарушает официальные церковные правила.