Слово грустно в предложении "Мне грустно" какая часть речи, можно определить, если выяснить состав предложения.
В этом предложении нет глагола, который обозначает действие.
Тогда спрошу: о чем говорится в предложении?
И дам ответ: в предложении говорится о том, что мне грустно.
Слово "грустно" является центром безличного предложения, в котором нет и не подразумевается подлежащее.
Рассматриваемое слово обозначает состояние человека, как и слова;
душно в комнате;
тоскливо одному;
радостно всем.
Грустно - это часть речи, которая называется категорией состояния.
Слова категории состояния обозначают состояния человека или окружающей среды (ненастно, дождливо, пасмурно) и являются главным членом (сказуемым) в безличном предложении.
Не путаем слово категории состояния с наречием "грустно", которое в предложении зависит от глагола-сказуемого.
Он сказал это весьма грустно.
Сказал как? грустно (наречие, обстоятельство образа действия).
А в этом контексте слово "грустно" - краткая форма прилагательного:
Её лицо (каково?) грустно (грустное).