Во всех словарях "полтинник" - это что-то, связанное с числом 50. То есть это может быть 50-копеечная монета
или 50-рублевая банкнота. Иногда можно услышать, что "человеку уже полтинник" (то есть 50 лет). У спортсменов "полтинник" - дистанция в 50 метров. "Полтина" для денег - то же самое, что и полтинник, то есть тоже 50 копеек: в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона "Полтина - в денежном счете половина рубля". Однако у Даля и у Фасмера полтина может быть просто половиной чего-либо. Если предположить, что у Гоголя полтина - это 50 копеек, то концы с концами не сходятся. А если предположить, что 5 копеек, то "сходятся". Ноздрев, считая, что трактирщица запросила слишком много, говорит ей "врешь". И предлагает зятю дать ей полтину, считая, что это будет "предовольно с нее".
Я думаю, единственное объяснение такое. После войны 1812 года и последующих военных действий за рубежом в стране началось быстрое обесценивание ассигнаций относительно серебряных монет. И появилось два курса денег: твердый "серебряный" курс и слабеющий - "в ассигнациях". В 1839 — 1943 гг. российский министр финансов в 1823 — 1844 гг. Егор Францевич (Георг Людвиг) Канкрин провел денежную реформу. Обесцененные ассигнации были выведены из обращения и заменены новыми кредитными билетами и монетами в соотношении 1 новый рубль за 3,5 старых. И с 1839 по 1848 гг. на медных монетах была удивительная надпись "серебром" (такие монеты 1848 г. исключительно редки). В 1839 г. были отчеканены и старые 2-копеечные монеты, и новые.
Очевидно, что трактирщица запросила 20 копеек "в ассигнациях", что в переводе на "серебро" равнялось примерно 6 копейкам. А водка стоила всего 20 : 4 = 5 "ассигнационных" копеек или чуть меньше 1,5 копеек "серебром". Ноздрёв же, не зная, сколько стоит водка, предложил дать полтинник, то есть не 50, а
пять копеек "серебром". То есть примерно на копейку меньше, чем запросила трактирщица, но намного больше, чем стоила водка. Отсюда и радость трактирщицы.
