Слово "качать" произошло от слово "качка" - довольно давнего слова, которое обозначало волнение моря, когда по нему плывет корабль. "Корабль качает" - то есть вздымается на волнах вверх-вниз. (от этого же слова и давнерусское - "качели").
В дальнейшем, думаю, произошло обогащение этого слова. После того, как появились насосы, было замечено, что детали их механизма тоже вздымаются вверх-вниз, словно на волнах, поэтому было к слову "насос" прилеплено слово "качать". Насос качает, то есть работает, функционирует.
Дальше - больше. Если качает, значит заполняет какую-то емкость, дает прибытие какому-то материалу. Стали говорить "накачай", "закачай" воду (масло, бензин и т.п.).
Теперь закачивают и скачивают все, что угодно. Особенно это слово прижилось в Интернете. Здесь скачивают программы, контент. Иногда процесс скачки отображается на экране в виде прогресса - динамичного заполнения определенной детали интерфейса (словно вода заливается в сосуд).
Интересное выражение "качать права". Как бы, действительно, не добиваться прав, а - качать их (пробовать расшатать оппонента, то опуская, то возвышая его, хотя при этом есть понимание, что ничего путного из этого не выйдет).
Вот так я думаю и шло словообразование этого слова.
В этимологическом словаре русского языка, например, А.В. Семенова нет упоминания ни про качку, ни про качание, ни про скачивание. В других же словарях я не смотрел. Возможно, это сделают следующие желающие ответить.
