Потому что каждый организм, в общем, уникален по белковому и, прежде всего, антигенному составу. Группы крови - очень примитивный и грубый пример такой "уникальности". А кроме этого, существует ещё достаточно много групп тканевой совместимости. Чем больше таких белков совпадает, тем меньше вероятность отторжения.
Но проблема в том, что полностью белки могут совпасть только у однояйцевых близнецов. А система иммунитета не дремлет и старательно выискивает попавшие в организм чужие белки, чтобы его от них очистить. И, в свою очередь, лимфоциты, содержащиеся в пересаженном органе, развивают бурную деятельность по борьбе с хозяином (так и называется, реакция "трансплантат против хозяина"). В сердце и почках лимфоцитов относительно мало, поэтому такая реакция при их пересадке развивается реже, а при пересадке печени и особенно костного мозга - бывает довольно часто. Вот после пересадки органов и необходимо принимать иммуносупрессанты (вещества, подавляющие иммунитет).
..А орган, конечно, функционирует некоторый период даже без иммуносупрессии. Ведь лимфоцитам нужно время, чтобы "раскочегариться" и запустить реакцию на всю катушку.