Стоит определиться, о какой части речи тут говорится.
Если мы говорим о глаголе, который идет от начальной формы "брать", то в единственном числе, настоящем времени слово будет писаться как "берёт". Ну, а поскольку в литературе "ё" фактически не используют, то верный ответ "берет".
Например:
Она не берет трубку из-за обиды.
Он берет по две мешка за раз.
Если же мы говорим о существительном, о головном уборе, то тут также аналогичное написание - "берет".
Например:
Она взяла берет и пальто, и пошла к выходу.
Но вне зависимости от того, о какой части слова мы говорим, слово "бирет" является неправильным и его не следует использовать.