То, о чём идёт речь в вопросе, называется категорией состояния. Конкретно - безлично-предикативным словом, выраженным именем существительным.
Предложение
является безличным (и ещё неполным, потому что лишь из контекста понятно, кому именно охота в школу), а слово состояния (безлично-предикативное слово) "охота" выступает в качестве сказуемого.
В большинстве случаев предикатив похож на наречие и, видимо, развился из наречия, а в данном случае похож на существительное. Именно поэтому в одном из ответов он назван субстантивированным наречием. До недавнего времени и в официальных грамматиках, и в школьных программах его так и назвали бы. Но наука не стоит на месте, осмысливание языковых процессов не может навеки сохраняться на уровне XIX века или средневековых грамматик. В наше время
это всё названия одной части речи, хотя единого простого термина для неё ещё не существует. Поиски какого-нибудь хорошего доходчивого источника в Интернете на эту тему пока не привели дальше этого. Видимо, здесь без новейших "бумажных" учебников не обойтись.
Существительное "охота" и предикатив "охота" в современном русском языке с позиций современной лингвистики являются омоформами, то есть словами, омонимичными друг другу лишь в одной конкретной грамматической форме. Существительное "охота" можно поставить в различные числа и падежи - омонимия исчезнет. Предикатив "охота" остаётся неизменным.
В русском языке есть также наречие ОХОТНО, образованное от прилагательного охотный в значении:
Оно употребляется так, как и другие наречия, и в предложении играет роль обстоятельства образа действия.
В обоих случаях это второстепенный член предложения, входящий в группу сказуемого.
"Охотно учится" или "охотно идёт" - в этих словосочетаниях тип связи - примыкание.
Оба предложения в примере - простые двусоставные, и не нужно быть академиком, чтобы почувствовать разницу между ними и между предложением из вопроса.
