Question

Что такое радиус кривизны?

Answer 1

До некоторой степени это обобщение понятия касательной...

Что такое касательная - каждый себе легко представляет. Это прямая, которая "совпадает" с данной кривой вот в этой точке. Причём как строится касательная "на пальцах" - тоже можно себе представить: возьмём на кривой две точки и проведём через них прямую (секущую). А теперь начнём эти точки сближать. Вот тот "предел", к которому стремится положение секущей при стремлении к нулю расстояния между точками. и будет касательной.

Но можно пойти и дальше - взять на кривой три точки и построить не прямую, а окружность, проходящую через эти три точки. Причём одна из этих точек - та, которая нас интересует (в которой нам и надо найти радиус кривизны), пусть будет в середине, а две другие - по бокам. Если эти три точки ненароком не окажутся на одной прямой - ну мало ли... - то такая окружность строится всегда, и причём однозначно.

А теперь опять, как и в предыдушем случае, начнём эти точки сближать. И тогда у нас окружность тоже будет стремиться к какому-то "пределу", который, как это должно быть и интуитивно понятно, соответствует тому, насколько круто изгибается кривая в этой точке. Ну, скажем, синус в точках своего экстремума - или аккурат между ними. В одном случае он максимально кривой (в точке 90 градусов), в другом - максимально прямой (180 градусов).

Вот радиус такой "предельной окружности" и будет радиусом кривизны в данной точке.