Question

При каких а уравнение с модулем имеет два корня?

при каких а уравнение имеет два корня

а) |х+1|= а^2+1

б) |х+4|= а^2+4

Answer 1

1)Понятно ,что а*а+1>=0 всегда при всех а.Да просто а*а>=0.Теперь рассмотрим выражение под знаком модуля.Пусть (х+1)>=0,тогда равенство без знака модуля запишется следующим образом х+1=а*а+1,отсюда х=а*а,следовательно а- любое число при х>=0 ,один корень х есть,но (х+1) может быть и меньше 0,тогда имеем -(х+1)=а*а+1 или (-х)=а*а+2, тогда здесь а*а+2>=2,отсюда (-х)>=2,а просто х<=(-2).Отсюда получается при любых а у уравнения 2 корня.И эти корни взаимосвязаны выражением х1=-х2-2 2)Разберём другой пример,число под знаком модуля положительное,х+4=а*­<wbr />а+4,отсюда х=а*а,а- любое,далее число под знаком модуля отрицательное,-(х+4)­<wbr />=а*а+4,или (-х)=а*а+8,и здесь а- любое число,то есть в обоих случаях 2 корня.

Answer 2

Проще всего наверное показать графический способ решения этих уравнений.

Итак: |х+1|=а^2+1. Запишем в таком виде: у=|х+1| и у=а^2+1.

Как выглядит график функции у=|х+1|? Строим график функции у=х+1. Затем вместо части графика при х<-1, чертим зеркально симметричный ему относительно оси Х график. Получается "уголок" из двух перпендикулярных линий, расположенный выше оси Х, и касающийся её только в одной точке (-1;0).

Что же касается графика функции у=а^2+1 то это бесконечный набор горизонтальных линий, расположенных выше линии у=1. Все они пересекают уголок в двух точках, значит при любом а данное уравнение имеет по 2 корня (по 2 решения).

Совершенно аналогично и со вторым уравнением.

Answer 3

Тут требуют разжевать доказательство для ученика 7 класса.

Вопрос на самом деле элементарный, и доказательство записать дольше, чем до него додуматься.

1) |x + 1| = a^2 + 1

Правая часть a^2+1 >= 1 при любом а, левая часть - модуль, он >= 0 при любом х.

Модуль принимает любое значение дважды - когда выражение под модулем отрицательно, и когда оно положительно.

И только значение 0 модуль принимает один раз.

Ни при каком а правая часть не равна 0.

Поэтому при любом а левая часть будет принимать значение а^2+1 два раза:

при x+1 = -a^2-1; x1 = -a^2-2 и при x+1 = a^2+1; x2 = a^2.

2) |x + 4| = a^2 + 4

Решается такими же рассуждениями, и ответ такой же:

При любом а уравнение имеет 2 корня.

Answer 4

В обоих случаях - при любом а будет 2 корня.

Например:

а) |x+1|=a^2+1

Пусть а=0

|x+1|=1

При x<-1 будет -x-1=1; x1=-2

При x>=-1 будет x+1=1; x2=0

Пусть а=3

При x<-1 будет -x-1=10; x1=-11

При x>=-1 будет x+1=10; x2=9

Тоже самое во втором примере.