Запрещающих правил по вопросу, можно ли начинать предложения с союзов вообще,
в русском языке не существует. Это касается и союза но.
Во-первых, нужно обратить внимание на то, что союз но -- это союз противительный.
Обычно его употребляют при противопоставлении слов, предложений с сочинительной связью.
Например. Дождь еще не закончился, но уже выглянуло солнышко.
Часто союз но употребляется в диалоге при возражении собеседнику в ответ на что-то уже высказанное,
изложенное в предыдущем предложении.
В этом случае можно возражение свое начать с союза но.
Например.
-- Садись за стол, будем ужинать.
-- Но я не голоден.
Можно начать предложение с но и тогда, когда это предложение дополняет мысль, изложенную в предыдущем предложении. И такие случаи наиболее распространены и в разговорной речи, и в художественной литературе.
Например. Бабушка позволяла внукам то, что запрещала родная мать, которая прекрасно различала,
когда слезы - просто капризы, а когда - действительное несчастье. НО бабушка не выносила любых слез
и тут же шла на уступки.
Не совсем, по моему мнению, корректно начинать сразу свой разговор, свою речь с возражения.