Да, интерграция с Фейсбуком у БВ давно не работает - как минимум, года полтора.
Под полем для ответа 2 ссылки "Опубликовать в Фейсбук" и "Опубликовать В контакте" если Вы в окошечках левее этих слов поставите галочки, а потом нажмёте "Отправить ответ" то Ваши ответы будут опубликованы в данных сетях.
Вы, видимо, нажимали кнопку "Нравится" от этих сетей, но их нажатие, возможно, не влияет на отправку ответа.
Не пользовалась и как они действуют сказать не могу.
Удачи!
Насчет "лайков" - не знаю... А вот то что, например, на сайте социальной сети "Вконтакте" есть такая группа "Большой вопрос", очень даже хорошо влияет на продвижение вопросов. В этой группе каждый день выкладываются вопросы, потенциально звездные. Ответив на один из таких вопрос, можно получить дополнительную копеечку.
Меня заинтересовал Ваш вопрос, и я попробовала на фейсбуке набрать словосочетание "большой вопрос". Результат таков: на фейсбуке есть страница, где написано справочный веб-сайт. На этой странице каждый день печатаются вопросы, где нет "качественных" ответов. Дальше расследовать я не стала (так ли это или не так), но страница со ссылкой на этот сайт существует.
Да, привязка к Фейсбуку, действительно, не работает и уже давно. Администрация говорила на этот счет, что делают все, что могут. Но, видимо, там какие-то пока до сих пор неразрешимые проблемы - будем надеяться, позже разрешатся.