Question

Что такое матрица в математике?

Answer 1

Матрица - это таблица из чисел. Обозначают матрицы большими лат. буквами: А, В, С,...

Сами матрицы обозначают в скобках:

A = (a11 a12)

_ __(a21 a22)

Не обращая внимания на подчеркивания: Это для выравнивания по горизонтали.

Матрицы бывают квадратные и прямоугольные, а также в 1 строку или 1 столбец.

Если матрица квадратная, то у нее можно найти определитель.

Обозначают его |A| или Det(A). Для матрицы 2 на 2, как я уже написал, определитель считается так:

Det(A) = |A| = a11*a22 - a12*a21

Для матрицы 3 на 3 определитель считается по методу треугольника, представленному на рисунке.

1) Находим произведение чисел на главной диагонали a11*a22*a33.

2) Находим произведения чисел по треугольникам, у которых сторона параллельна диагонали: a13*a21*a32 и a12*a23*a31.

3) Находим сумму всех этих произведений. Получаем число A1 = a11*a22*a33 + a13*a21*a32 + a12*a23*a31.

Все это показано на левом рисунке.

4), 5) и 6) Делаем тоже самое с побочной диагональю. A2 = a13*a22*a31 + a11*a23*a32 + a12*a21*a33.

Это показано на правом рисунке.

7) Вычитаем из первой суммы вторую:

Det(A) = A1 - A2 = a11*a22*a33 + a13*a21*a32 + a12*a23*a31 - a13*a22*a31 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33

Определители 4 и более высоких порядков находят еще более сложными методами, их ты будешь изучать в институте.

Кроме определителя у квадратных матриц есть еще Перманент Per(A). Это то же самое, но произведения складываются:

Per(A) = A1 + A2 = a11*a22*a33 + a13*a21*a32 + a12*a23*a31 + a13*a22*a31 + a11*a23*a32 + a12*a21*a33

Но перманент используется намного меньше, чем определитель, и менее известен.

Матрицы используются очень много где в математике: в линейной алгебре, в аналитической геометрии, в теории векторов,

в теории множеств, в теории функций нескольких переменных и тому подобных приложениях.

Над матрицами можно проводить алгебраические вычисления: складывать, вычитать, умножать, делить.

Причем при умножении матриц закон о перемене мест множителей не выполняется: A*B =/= B*A.

Еще матрицу можно транспонировать, то есть поменять местами строки и столбцы, из наше матрицы A получится рисунок:

Еще у матриц есть много всяких интересных свойств, и есть много видов самих матриц:

Единичные (Е), диагональные, симметричные, кососимметричные, циркулянты, и так далее.

В общем, в одном ответе всё не опишешь, смотри статьи Вики про матрицу, про определитель, и другие по ссылкам, а также изучай учебники по линейной алгебре для ВУЗов.