Чтобы выяснить, какой корень в слове однажды, сначала определим часть речи, к которой оно принадлежит.
Однажды мне приснился сон.
Приснился когда? однажды.
Явно это наречие - неизменяемая часть речи, в составе которой не будем искать окончания.
Основа совпадает со всем словом - однажды-.
В словообразовании имеется очень специфичный суффикс -жды-, который присутствует в составе наречий, образованных от числительных:
однажды, дважды, трижды, четырежды.
Сочетание согласных жд явно указывет на заимствование из старославянского языка.
Значит, выделим суффиксы -жды- и -а-.
Методом исключения на долю корня осталась часть -одн-, как и в ряде родственных слов:
одноразовый, одноклассник, однообразие.
В результате запишем морфемный состав анализируемого наречия в виде схемы:
одн-а-жды - корень/суффикс/суффикс.