Александр Годунов родился 28 ноября 1949 года на острове Сахалин, но вскоре со своей семьёй переехал в Ригу, где в 1958 году поступил в хореографическое училище, в котором проучился 9 лет. Кстати, знаменитый Михаил Барышников учился в этом же заведении с Александром Годуновым и очень завидовал ему из-за высокого роста и особенно, из-за того, что при распределении попал в не популярный, тогда Кировский театр. А Александр Годунов попал в Москву в хореографический ансамбль «Молодой балет» Игоря Моисеева. В 1971 году жизнь Александра очень круто изменилась, когда он прошёл по конкурсу и поступил в труппу Большого театра, репетитором у него был талантливый и бывший великий танцовщик, педагог Алексей Ермолаев, который сразу заметил природному дарование и трудолюбие своего ученика и в ближайшем будущем пророчил ему блестящее будущее. Карьера у Александра действительно, продвигалась быстрыми темпами, и в этом же году, он получил в «Лебедином озере» партию принца, а в следующем году удостоился Первой премии на всесоюзном конкурсе артистов балета. А звездой большого балета он стал после того, как станцевал с великой Майей Плисецкой в балете Родиона Щедрина «Анна Каренина», а затем в «Лебедином озере» и «Кармен-сюите. В 1976 году Годунов получил звание заслуженного артиста РСФСР. Дальше, до 1979 года он танцевал как дуэтные, так и сольные партии и был очень востребован публикой. Многие критики отмечали, что он обладает необыкновенными природными данными. Он был высокий, стройный, красивый, идеально пропорциональный, просто созданный для балета танцовщик. Также отмечали, его легкий для его роста (1,89 м), зависающий в воздухе прыжок, виртуозное вращение, выразительность жеста, завершенность формы, красоту линий графической позы, в общем, просто феноменальное владение своим телом.
Будучи солистом Большого театра, на протяжении 5 лет, Александр Годунов был "невыездным", что означало лишён права выезжать на зарубежные гастроли.
Во время американских гастролей, с труппой Большого театра 23 августа 1979 года Александр Годунов попросил политического убежища в США. Был политический скандал, и в итоге ему даже не удалось поговорить с женой, солисткой Большого театра Людмилой Власовой. Потом, многие его коллеги говорили, что он давно планировал уехать и остаться в США.
Годунов в начале хорошо устроился в Американский Балетный Театр, директором которого был Михаил Барышников. Из-за большой зарплаты в 150 тысяч долларов в год, больше чем получали остальные танцовщики, возник скандал. Сказалось ещё и одиночество, не понимание и не приятие новых устоев, породило в Александре депрессию, что он ушёл из театра. Многие говорят, что Барышников ему помогал, но это вряд ли, зачем плодить конкурентов, которым завидуешь. Какое то время, после этого он гастролировал с собранной труппой. В 1985 году Александр Годунов закончил свою карьеру танцовщика и решил попытать счастье в кино, но продолжая поддерживать форму. В то время, он встречался с известной кинозвездой Жаклин Биссет, которая повлияла на его выбор стать актером. Его первая второстепенная роль была в фильме «Свидетель» в 1985 году, в роли немого фермера. Карьера у Годунова не получилась из-за русского акцента и яркой внешности. Исключительную роль он сыграл в "Крепком орешке"в 1988 году, в роли террориста Карла, который многим запомнился своим запоминающимся внешним видом.
В конце концов, неудачная карьера в кино и невозможность вернуться в свою балетную профессию, стало причиной ранней смерти талантливого, ( если не считать пристрастия к алкоголю) но не востребованного Александра Годунова. Умер он 18 мая 1995 года, в своём доме в Западном Голливуде. На мемориале в Лос-Анджелесе есть такие слова «Его будущее осталось в прошлом".
