Давайте рассуждать логически. Солнце - это не лампочка с выключателем, которую можно выключить по желанию. Солнце - это звезда класса G.
Такие звезды считаются одними из самых стабильных. Их еще называют желтыми карликами. Они не имеют достаточной массы, чтобы стать нестабильными и превратиться в какую-нибудь Сверхновую.
А для Солнца - это единственный выход, чтобы "погаснуть". Т.е. Звезда не гаснет просто так. Разве что в фантастических романах типа "Пришельцы ниоткуда" Франсиса Корсака. Там страшные мислики из другой галактики гасили солнца одни за другими своей невероятной аппаратурой.
Ну а если придерживаться реальности, то солнца в нашей Вселенной гаснут только через взрыв. Сначала звезда ярко мощно взрывается, становясь Сверхновой. В процессе взрыва звездное вещество сильно расширяется далеко за орбиты планет. Так что прежде, чем Солнце погаснет, все планеты сгорят в этом взрыве.
Поэтому строго научный ответ: если солнце погаснет, то Земли к этому времени уже не будет "в живых".
Ну а если вы хотите представить фантастический вариант погашения солнца, тогда Земля, оставшись без его живительного тепла и света станет планетоидом с замерзшей оболочкой из твердых газов.
А где-то внутри этой вечной мерзлоты будет заморожен весь живой мир Земли навсегда.