У животных есть память, конечно.
Может быть механическая натренированная, например у попугаев ( и у других птиц ), которые запоминают слова на всю жизнь, или гнездо на которое прилетают каждый год, у рыб даже есть память, лосось приходит на нерест в свою речку через несколько лет, но это скорей всего генетически обусловленная память.
Может быть память у животных, живущих группами, когда животные помнят своих воспитателей, общаются с ними через какой-то промежуток времени. Но здесь есть особенности, так проявляется память у крупных животных или хищников, у них всё же интеллект высокий и устоявшиеся правила общения между "своими" в группе, которые могут быть понятны нам. Но с другой стороны трудно бывает оценить помнит человека животное или нет, может и помнит, но никак этого не проявляет или наоборот проявляет отрицательные эмоции несмотря ни на что, ведь для него пищевые или территориальные стимулы в поведении могут быть важнее.
Об эмоционально окрашенной памяти писали у слонов, так один ветеринар лечил слона, давал ему горькое лекарство внутри лакомства, слону это не понравилось, через долгое время, когда выдался удобный случай ветеринар вместо "спасибо" получил подзатыльник хоботом. Про память у слонов много интересного. Бернгард Гржимек, у него можно не только про слонов почитать.
Про кошек, собак сказать сложнее, у них с абстрактным мышлением не очень богато, они не узнают себя в зеркале, думаю они не помнят себя котятами и щенками, может быть только какие-то события вокруг себя помнят.