В приведенном предложении прилагательное золотые правильно ставить в творительном падеже:
"Осенью березы становятся золотыми".
И это определено употребленным в предложении глаголом становятся.
Становятся золотыми -- это составное именное сказуемое, в котором связкой является глагол становиться,
указывающий на возникновение или развитие признака в предмете. Сам признак выражен прилагательным золотой.
При глаголе становиться имена прилагательные, входящие в состав сказуемого, должны ставиться в форме творительного падежа. Это относится и к глаголам делаться, являться, считаться, называться, казаться, стать, бывать, употребляющимся в роли связок в составном сказуемом.
Например.
Девушка казалась сердитой. Дни стали длинными. Задание считалось трудным.