Нет способа заставить мужчину жениться против его желания.
Кроме того, Вы не написали, признал ли мужчина ребёнка своим юридически. А то может ещё получиться так, что отцовство через суд придётся устанавливать. Это чтобы алименты взыскать, если он из дома выставит.
Юридически непризнанный ребёнок не является наследником. С другой стороны, лишить наследства не проблема: достаточно написать завещание на кого угодно, и совершеннолетний ребёнок ничего не получит, а несовершеннолетний получит половину от того, что получил бы без написанного на другого человека завещания. При толпе наследников по завещанию доля несовершеннолетнего окажется ничтожной.
Ваша подруга, живущая не в гражданском браке, а в сожительстве, поставила себя в сложную ситуацию. Теоретически при покупке квартиры на имя мужчины от него надо уйти, если практически есть куда уходить. Как я понимаю, снимать квартиру и содержать себя с ребёнком Ваша подруга не сможет.
Обсудить прописку ребёнка в квартире можно, но если мужчина не пожелает ребёнка прописывать, то ничего сделать не получится. У ребёнка наверняка уже есть прописка - и она останется прежней. У меня есть подозрение, что ребёнок прописан по месту жительства матери, а не отца.