По верху и поверху пишется раздельно или слитно в зависимости от того, к какой части речи принадлежит слово в определенном контексте.
Созвучные слова "по верху и "поверху" принадлежат к разным частям, поэтому пишутся по-разному.
Слово "верх" обозначает предмет и отвечает на вопрос что?
Это имя существительное, которое в падежной форме с предлогом "по" пишется раздельно. Причем обратим внимание, что оно обязательно имеет зависимое слово в форме родительного падежа.
По верху крыши мастер уложил черепицу.
Между предлогом и словом можно вставить определение:
по самому верху;
по остроконечному верху;
по этому верху.
Отличаем в контексте это существительное от однокоренного наречия.
Идем поверху, там нет ущелий.
Наречие не изменяется, зависит от глагола и отвечает на обстоятельственный вопрос:
идем где?
Слово "поверху" пишется слитно как наречие, образованное от существительного "верх", имеющего пространственное значение.
Аналогично пишутся слитно с приставками наречия, образованные от существительных "верх", "низ", "перед", "зад" и пр.:
вверху
сверху
внизу
снизу
впереди
сзади и пр.