По окончании или "по окончанию"? Вопрос, конечно, интересный!
Изначально это падежная форма существительного "окончание", которая, как видите, заканчивается на -ие (окончание -е). Такие существительные среднего рода склоняются по-особому в сравнении с со словами среднего рода второго склонения. Сравним, взяв в спутники существительное среднего рода "окно" с ударныии падежными окончаниями:
и.п. окн-о, окончани-е
р.п. створка чего? окн-а, нет окончани-я
д.п. иду к чему? к окн-у, к окончани-ю
в.п. вижу что? окн-о, окончани-е
т.п. удивлен чем? окн-ом, окончани-ем
п.п. думаю о чём? об окн-е, об окончани-И
Все слова на -ие в форме предложного падежа имеют окончание -и вразрез с типичным окончанием -е существительных среднего рода второго склонения:
о созвезди-и, на телевидени-и, в солени-и, кроме на остри-е.
Существительное по окончании стало производным предлогом, который употребляется в контексте:
по окончании школы, по окончании курсов, по окончании обучения и т.п.
Этот предлог сохраняет написание производящего существительного, так что выберу написание по окончании как единственно правильное, соответствующее морфологической норме современного русского литературного языка.