Question

Пифагорейцы ошиблись в вопросе о рациональности музыкальных интервалов?

Меня немного удивило то, что я услышал о пифагорейцах: они утверждали, что длины всех музыкальных струн (естественно, при одной и той же толщине этих струн и при одном и том же натяжении этих струн) относятся друг к другу, как целые числа. Удивляет, не правда ли, то, что в этом вопросе пифагорейцы глобально ошиблись, и на самом деле ни для какого интервала кроме октавы (или кратного октаве) это не верно в принципе? Надеюсь, вы понимаете, почему длины струн или частоты звуковых волн среди 12 музыкальных звуков, входящих в октаву, не могут относиться друг к другу, как целые числа, за исключением октавы?

Answer 1

Я считаю, что ваш вопрос задан не очень корректно!

Почему пифагорейцы ошиблись о рациональности музыкальных интервалов?

Во-первых, они не ошиблись, а так оно и есть! Музыкальная гармония основана на целых числах и отношениях. Это так называемый 2-й закон Пифагора. Последователи Пифагора видели в ЧИСЛЕ основу всего. Оказалось, что музыкальные интервалы подчиняются простейшим числовым отношениям 2/1 (октава), 3/2 (квинта), 4/3 (кварта)! (Алгебра подтверждает гармонию).

Проверить 2-й закон Пифагора можно, например, извлекая флажолеты на гитаре. Думаю, по своей физиологии ухо человека воспринимает как более гармонические такие сочетания звуков, которые подчинены простым числовым отношениям.

Во-вторых, употребление термина "рациональность" к "музыкальным интервалам" не совсем корректно. Видимо, речь идет о том, что в пифагорейском музыкальном строе приходилось всё таки вводить поправки (пифагорейские коммы), поскольку иначе если идти чистыми квинтами накапливалась ошибка, приводящая к диссонансу ("волчьей квинте").

Пифагорейский музыкальный строй по сути явился первым музыкальным строем. В нем были использованы 12 ступеней. На его основе в последствии был построен натуральный строй. Изменения прежде всего коснулись большой терции, которая, как считали, звучит несколько натянуто. Вместо соотношения 81/64 было введено 80/64 (5/4). Но ведь для человеческого уха 5/4 более гармонично, чем 81/64! Правда, это несколько выбивалось из пифагорейской логики.

Впоследствии (в XIX веке) был введен равномерно-темперированный строй, который описывал соотношение интервалов в гамме логарифмическим законом. Один полутон стал равен корню 12-й степени из 2. Отличия от чистых квинты и кварты получились достаточно незначительные, на слух практически не заметные.

**) В равномерно-темперированном строе принято, что октава = 1200 центов, полутон = 100 центов*.

<hr />

P.S. Как-то я прочитал воспоминания одного настройщика фортепиано. Он пришёл к парадоксальному выводу: когда настраиваешь инструмент "неправильным" пифагорейским методом, то как раз в этом случае достигается чистая гармония. Дело в том, что "идеальных струн" не существует! Большую роль играют обертоны, зависящие от того, из чего сделана струна. Обертоны влияют на "биения", по которым настройщик судит о точности настройки. А это в теоретических формулах не учтешь.

Было бы странно, если бы Бог, сотворивший всю вселенную совершенной, сказал:

"С равномерностью музыкального строя у Меня не получилось. Вы уж сами как-нибудь разберитесь с этим!".

Answer 2

Отношение частот для октавы равно 2, то есть частота «до второй октавы» в 2 раза больше частоты «до первой октавы». Деление октавы на 12 равных полутонов означает, что частота «до диез» в q раз больше частоты «до», частота «ре» в q раз больше частоты «до диез», частота «ре диез» в q раз больше частоты «ре», частота «ми» в q раз больше частоты «ре диез», частота «фа» в q раз больше частоты «ми», и т. д., то есть отношение частот для любого полутона равно одному и тому же числу q – знаменателю геометрической прогрессии. Отсюда, отношение частот для тона, например, отношение частоты «ре» к частоте «до» равно числу «q в квадрате», отношение частот для малой терции –«q в кубе», для большой терции «q в четвёртой степени», для кварты - «q в пятой степени», для уменьшенной квинты – «q^6», для квинты – «q^7», для малой сексты – «q^8», для большой сексты – «q^9», для малой септимы – «q^10», для большой септимы – «q^11», для октавы – «q^12». Приравнивая «q в двенадцатой степени = 2», находим знаменатель этой геометрической прогрессии, то есть отношение частот для полутона: q = корень двенадцатой степени из 2. Или q = 2^(1/12). Иррациональность корня 12 степени из числа 2, думаю, можно доказать точно также, как и иррациональность корня квадратного из числа 2.

Предположим противное: 2^(1/12)=m/n, где m и n – целые числа, а дробь m/n является несократимой дробью. Тогда m^12=2*n^12. Отсюда следует, что m^12 – чётное, следовательно, число m – тоже чётное: m=2*k.

(2*k)^12 = 2*n^12 или 4096*k^12=2*n^12 , сокращая на 2 обе части равенства, получим: 2048* k^12= n^12 . Следовательно, число n^12 является чётным, следовательно, и число n является чётным, и, так как оба числа m и n являются чётными, то это противоречит тому, что дробь m/n является несократимой дробью.

Так доказывается иррациональность отношения частот для полутона. Аналогично, для всех других интервалов кроме октавы. Всюду получаются иррациональные числа.

Отношение частот:

Для малой секунды «до-до диез»: 2^(1/12) = 1.059463094…

Для большой секунды «до-ре»: 2^(2/12)=2^(1/6)=1.122462048…

Для малой терции «до-ми бемоль»: 2^(3/12)=2^(1/4)=1.189207115…

Для большой терции «до-ми»: 2^(4/12)=1^(1/3)=1.25992105…

Для кварты «до фа»: 2^(5/12)=1.334839854…

Для уменьшенной квинты «до-соль бемоль»: 2^(6/12)=2^(1/2)=1.414213562…

Для квинты «до-соль»: 2^(7/12)=1.498307077…

Для малой сексты «до-ля бемоль»: 2^(8/12)=2^(2/3)=1.587401052…

Для большой сексты «до-ля»: 2^(9/12)=2^(3/4)=1.681792831…

Для малой септимы «до-си бемоль»: 2^(10/12)=2^(5/6)=1.781797436…

Для большой септимы «до-си»: 2^(11/12)=1.887748625…

Для октавы: 2^(12/12)=2^1=2

Answer 3

Надеюсь,для Вас этот вопрос так же важен,как для меня 10 кредитов,будь они неладны.Что собственно касается струн,да,да,конечно,вот лично я понимаю,почему длины струн или,как Вы говорите,частоты звуковых волн среди 12 музыкальных звуков, входящих в октаву, не могут относиться друг к другу,как целые числа,кроме октавы,конечно же,кроме неё.А пифагорейцы ошиблись,но мы с этим уже ничего сделать не сможем,надо простить бедных греков,им что-то в последнее время не везёт.Я вот тоже удивилась,музыка это,как Вам сказать,я живу этим...

Answer 4

Звуковые частоты вроде как в герцах меряются. А целочисленность и герцы- это несовместимые понятия, так как герцы обычно связываются с логарифмическим исчислением, которое, конечно, не было известно пифагорейцам.

Answer 5

VladimirFo­min , Вы спрашиваете "Во сколько раз, например, частота си больше частоты ми? Посчитайте. Дайте точный ответ." Считаем: от ми до си 7 полутонов, значит частота си больше частоты ми в 2^(7/12)=1.498307076­<wbr />87668149879928... . Очевидно что это иррациональное число с бесконечным числом знаков после запятой и абсолютно точный ответ дать невозможно.