Предложение правильное. Здесь сложный союз "пока не" в придаточном предложении времени. Можно задать вопрос: "Ты должен напоминать ему (как долго? до каких пор?), пока он не сделает это". Здесь сложный союз разбит на две части местоимением "он": "Ты должен напоминать ему, пока (он) не сделает это".
Частица "не" относится к слову "пока", а не к слову "сделает". Значит, второму человеку делать.
Частица "не" является структурным элементом самого союза и, независимо от ее места по отношению к его первой части, не имеет отрицательного значения.
Если более простыми словами, здесь сложный союз "пока не" представляет собой одно целое (несмотря на то, что он разбит на две части местоимением "он") и не несёт отрицательного значения как такового.
Если употребить просто союз "пока" (без "не"), то это придаст высказыванию просторечный, разговорный характер. Можно и так, но прозвучит менее благозвучно, непривычно для слуха.
Кстати, у Достоевского Ф. М. в "Братьях Карамазовых" есть пример употребления без "не" в подобном случае: "А старик и впрямь, видно, хотел ему что-то поскорей сообщить, для чего нарочно и вышел встретить его в залу; услышав же такую любезность, остановился молча и с насмешливым видом проследил сынка глазами на лестницу в мезонин до тех пор, пока тот скрылся из виду"(выделено мной. - eckeskog).
На мой взгляд, Из двух вариантов этого предложения : "Ты должен напоминать ему, пока он не сделает это" и "Ты должен напоминать ему, пока он сделает это", - более привычным будет первый вариант (с "пока не").