Во-первых, правильно писать прилагательное братский (а не "брацкий"), как и наречия **братски, по-братски".
Все эти слова образованы от существительного брат и имеют суффикс -ск-, перед которым сохраняется конечная буква корня т (совет -- советский, идиот -- идиотский, абонент -- абонентский, гигант -- гигантский).
Определив корень и суффикс заданного прилагательного, легко можно вычленить изменяемую часть слова
(праздник у братск/ого народа, привет братск/ому народу, братск/ие народы и т.п.) Это окончание -ий.
Основа (исключим окончание) -- братск-.
Остальные три слова браток, браточек, братушка -- имена существительные (отвечают на вопрос КТО? и обозначают предмет), образованы тоже от существительного брат, которое и есть их общий корень, как и других однокоренных слов "братец, братик, братишка, брататься, побрататься".
Они имеют лишь разные суффиксы и окончания.
Как существительные мужского рода, относящиеся ко второму склонению, браток и браточек имеют нулевое окончание в заданной начальной форме слов. Существительное братушка относится к первому склонению и имеет окончание -а.
Перед окончаниями за корнем в словах брат/ок и брат/ушк/а следуют суффиксы -ок- и -ушк- соответственно.
А в слове брат/оч/ек два суффикса -- -оч- и -ек-, ведь оно образовано от слова браток, при этом в словообразовательной цепочке происходит чередование согласных в суффиксе.
