В качестве однокоренных слов часто приводят формы слов:
сравнительные степени прилагательных и наречий (веселее, самых веселый, веселейший);
глагольные формы как личные, так и причастия и деепричастия: собирает, собиравший, соберет, собранный, собрал, собравшись.
Все эти слова есть формы, а не другое родственное слово с таким же корнем. Учтем это и вспомним однокоренные слова к глаголу собирать.
Поменяв только приставку, получим однокоренные глаголы:
набирать, набрать, набраться, пробирать, пробираться, убирать, убрать, перебирать, перебираться, отбирать, отобрать.
Изменив суффикс в этих глаголах, образуем существительные:
наборщик, наборщица, собрание, собранность, уборка, уборщик, уборщица, переборка, отборка, сборка, собиратель, собирательница, собирательство, избиратель.
Пришел черед однокоренных прилагательных:
наборный, сборный, уборный, переборный, отборный, собирательский, избирательный, избирательский.
Как видим, в корне происходит чередование: бир-/бор-/бр-