Начну с того, что не только Москву называли "третьим Римом". Наследниками Византии себя много кто считал. К примеру, болгары с сербами. Они тоже были в родственных связях с византийскими императорами. В 14 веке болгарский царь Иван-Александр объявил третьим Римом... Тырново))) Муссолини называл Третьим Римом фашистскую Италию. Гитлер тоже не отставал со своим "Третьим Рейхом". В этом что-то было, потому что католики считали истинным Вторым Римом "Священную Римскую империю" германцев. Соответственно, Третий Рим должен был бы принадлежать к западной культуре. Джузеппе Мадзини, например, в 19 веке обосновал идею объединения Италии тем, что Первый Рим - императорский, Второй Рим - папский, а Третий Рим - республиканский.
Теперь о Москве. Говорят, что впервые эту концепцию высказал старец Филофей, называя Ивана Третьего наследником византийских императоров. "...два Рима падоша, а третей стоитъ, а четвертому не быти...". Кстати, почему "четвертому не бывать"?
Филофей утверждал, что согласно Откровения Иоанна Богослова иного христианского царства больше не будет, третье последнее.
Теорию "средневекового Третьего Рима" в щепки разнес российский историк Николай Ульянов (к Ленину не имеет отношения) и доказал, что концепция была создана в царствование Александра Второго, когда Россия начала претендовать на мировое господство. Насколько он прав, не берусь судить, но двуглавый орел на российском гербе появился еще в 16 веке. Как известно, именно такая птица украшала герб Палеологов (но не империи), последней византийской династии, с которой пребывали в родстве русские правители.