Веточка - это слово обозначает предмет и отвечает на вопрос: что?
Значит, это существительное. Второй шаг разбора по составу - выделение окончания, которое вычленю, изменив это существительное по падежам:
контур чего? веточк-и,
тянусь к чему? к веточк-е,
любуюсь чем? веточк-ой.
В начальной форме именительного падежа -а - это окончание, которое не включу в основу слова - веточк-.
А далее возникает вопрос: сколько суффиксов в составе слова? Морфема -очк- может быть цельным суффиксом (трость - трост-очк-а), может быть частью корня и суффиксом -к- (марка - мароч-к-а) или может складываться из двух суффиксов -оч-к (пример-к-а - пример-оч-к-а).
Обратимся к словообразованию:
вет-к-а - вет-оч-к-а.
Суффикс -к-производящего существительного "ветка" превратился в -оч- (беглая гласная "о" и расподобление одинаковых согласных) перед уменьшительно-ласкательным суффиксом -к- в слове "веточка"
Корнем является вет-, как и в словах:
ветка, веточный.
В итоге запишу морфемный состав рассматриваемого слова в виде схемы:
вет-оч-к-а - корень/суффикс/суффикс/окончание.